Контрольная работа по математике за 1 семестр
Вариант 4
«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного»
Вычислить предел
ex? - e-x?
lim ———————
x?0 x
ln? (1+ ?)
2
Решение.
ex?- e-x? 0 ex?~1+ x? 1+x? ?1 + x? 2x?
lim ———— = ( ? ) = e-x? ~1? x? = lim ——————— = lim —— = 8
x?0 x 0 x x x?0 x? x?0 x?
ln? (1+ ?) ln (1+ ?) ~ ? 4 4
2 2 2
Ответ: 8.
Найти асимптоты функции
x
y = ——— + x
2x - 1
Решение.Данная функция определена для
1 1
2x – 1 ? 0 => x Є (-?; ?) U (?; ?).
2 2
x 1
Так как lim (——— +x) = -?, то прямая x = — является вертикальной
x?0,5 – 0 2x – 1 2
асимптотой. Горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как
x x
lim (——— + x) = +? и lim (——— +x) = -?.
x?+? 2x - 1 x?-? 2x - 1
Определим, существуют ли наклонные асимптоты:
x
—— + x
f (x) 2x – 1 1
k = lim —— = lim ————— = lim (——— + 1) = 1;
x?+? x x?+? x x?+? 2x - 1
1
Заметим сразу, что lim (———— +1) = 1.
x?-? 2x -1
x x 1
b = lim (f(x) – kx) = lim (——— + x – x) = lim ——— = —.
x?+? x?+? 2x – 1 x?+? 2x – 1 2
x 1
Также b = lim ——— = —.
x?-? 2x – 1 2
1
Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту y = x + — .
2
1
Ответ: x = — - вертикальная асимптота, горизонтальных асимптот нет,
2
1
y = x + — - наклонная асимптота.
2
Определить глобальные экстремумы
f (x) = x? ln x, при xЄ[1, e]
Решение. Данная функция определена для xЄ[1, e]. Находим производную
x?
f ? (x) = (x? ln x)?= 2xlnx + — = 2xlnx + x и критические точки:
x
2xlnx + x = 0 => x1 = 0 или x2 = e-0,5.
Т.к. {x1,x2}? [1, e], то вычислим значения функций на концах данного интервала:
f (1) = 0,
f (e) = e2.
Среди функций находим наибольшее и наименьшее:
inf f (x) = 0 (1),
[1, e]
sup f (x) = e2 (e).
[1, e]
Ответ: f (1) = 0 — т. глобального минимума,
f (e) = e2 — т. глобального максимума.
Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции
f (x) = x3 (x + 2)2
Область определения функции — вся числовая ось. D (f (x)) = (-?; +?). Вычислим первую производную и исследуем ее знаки:
f?(x) = 3x2(x+2)2 + 2x3(x+2) и определяем критические точки: f (x) = 0 при
6
x1 = 0, x2 =-2 или x3 = - —.
5
Исследуем знак первой производной до и после критической точки.
f ?(x) + + +
—
-2 -1,2 0
x
f (x)
f ?(x) > 0 для x Є (-?; -2) U (-1,2; ?) — функция возрастает;
f ?(x) < 0 для x Є (-2; -1,2) — функция убывает.
В точках x = -2, x = -1,2 и x = 0 производная f ? (x) = 0, но в окрестностях точек x = -2 и x = -1,2 она меняет знак, поэтому в этих точках функция имеет экстремумы.
Вычислим значения: f (-2) = 0 (т. максимума), f (-1,2) = -1,1059 (т. минимума).
В окрестности точки x = 0 производная f ?(x) не изменяет знака, следовательно, точка x = 0 не является точкой экстремума функции.
Ответ: x Є (-?; -2) U (-1,2; ?) — функция возрастает;
x Є (-2; -1,2) — функция убывает;
f (-2) = 0 (т. максимума), f (-1,2) = -1,1059 (т. минимума)
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
f (x) = x3 – 3x2 + 1
Решение. D (f (x)) = (-?; +?). Находим производные:
f ? (x) =3x2 – 6x; f ?? (x) = 6x – 6.
Приравняв к нулю вторую производную, получим критическую точку II рода: 6x – 6 = 0; x = 1. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки:
f ?? (x) +
— 1 x
Следовательно, для x Є (-?; 1) f ?? (x) < 0 и график функции выпуклый вверх, а для x Є (1; ?) f ?? (x) > 0 — выпуклый вниз. Таким образом, при переходе через точку x = 1 f ?? (x) меняет знак. Значит, точка M (1; -1) — точка перегиба графика данной функции.
Ответ: x Є (-?; 1) — график функции выпуклый вверх;
x Є (1; ?) — график функции выпуклый вниз;
M (1; -1) — точка перегиба функции.
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ»
Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
x3
f (x) = — + x2 + 2
3
Решение.
1. D (f (x)) = (-?; ?).
(-x)3 x3
2. f (-x) = —— + (-x)2 + 2 = - — + x2 + 2.
3 3
Функция не является четной или нечетной.
3. Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва.
4. Горизонтальных асимптот функция не имеет, т.к.
x3 x3
lim (— + x2 + 2) = +? и lim (— + x2 + 2) = -?.
x?+? 3 x?-? 3
Определим, существуют ли наклонные асимптоты:
x3
— + x2 + 2
f (x) 3 x2 2
k = lim —— = lim ————— = lim ( — + x + —) = +?;
x?+? x x?+? x x?+? 3 x
x2 2
Заметим сразу, что lim ( — + x + —) = +?
x?-? 3 x
Таким образом, график функции не имеет наклонных асимптот.
5. Вычислим первую производную:
f ? (x) = x2 + 2x и определяем критические точки:
x1 = 0, x2 =-2.
Исследуем знак первой производной до и после критической точки.
f ?(x) + +
—
-2 0
x
f (x)
f ?(x) > 0 для x Є (-?; -2) U (0; ?) — функция возрастает;
f ?(x) < 0 для x Є (-2; 0) — функция убывает.
В точках x = -2 и x = 0 производная f ? (x) = 0 и в окрестностях этих точек она меняет знак, поэтому в этих точках функция имеет экстремумы.
1
Вычислим значения: f (-2) = 3 — (т. максимума), f (0) = 2 (т. минимума).
3
6. Находим вторую производную:
f ?? (x) = 2x+2
Приравняв к нулю вторую производную, получим критическую точку II рода: 2x + 2 = 0; x = -1. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки:
f ?? (x) +
— -1 x
Следовательно, для x Є (-?; -1) f ?? (x) < 0 и график функции выпуклый вверх, а для x Є (-1; ?) f ?? (x) > 0 — выпуклый вниз. Т.о., при переходе через точку x = -1 f ?? (x) меняет знак.
2
Значит, точка M (-1; 2 —) — точка перегиба графика данной функции.
3
Точки пересечения с осями координат:
если x = 0, то f (x) = 2;
если f (x) = 0, то x ? -3,5.
8. Результаты этих исследований наносим на график.